วิธีพิสูจน์สูตรต่างๆในเรื่องมูลค่าเงินตามเวลา (Time Value of Money: TVM) ตอนที่ 2 เงินรายงวด (Annuity)

ตอนที่ 2:

กรณีจ่ายกระแสเงินสดรายงวด (Annuity) 

        ในการเตรียมสอบเรื่อง “มูลค่าเงินตามเวลา” สำหรับวิชาทางการเงิน และการลงทุน นักศึกษาอาจต้องท่องสูตรสำหรับการคำนวณหาค่าตัวแปรต่างๆตามที่โจทย์กำหนด ผู้เขียนต้องการอธิบายที่มาของสูตรต่างๆ เพื่อให้นักศึกษาท่องสูตรให้น้อยที่สุดและสามารถขยายสูตรต่อไปในห้องสอบได้ ในบทความตอนที่แล้ว ได้อธิบายสูตรสำหรับกระแสเงินสดเพียงงวดเดียว (Single Cashflow) ส่วนในบทความตอนที่ 2 นี้จะแสดงสูตรสำหรับเงินรายงวดหรือ Annuity
        ผู้เขียนเลือกใช้คำว่า "งวด" แทนคำว่า "ปี" เพราะตราสารทางการเงินส่วนใหญ่จ่ายผลตอบแทน (เช่น ดอกเบี้ย เงินปันผล เป็นต้น) มากกว่าปีละหนึ่งครั้ง และต้องการให้ใช้คำกลางๆเพื่อให้นักศึกษาระลึกไว้เสมอว่าความถี่ในการจ่ายผลตอบแทนมีผลต่อการคำนวณ
        สำหรับสูตรในการคำนวณเรื่องเงินค่างวดนี้ จะแบ่งเป็นสองส่วน คือ 2.1 สูตรที่คิดจากมูลค่าอนาคตหรือ FV และ 2.2 สูตรที่คิดจากมูลค่าปัจจุบันหรือ PV แต่ในความเป็นจริงเราอาจเจอโจทย์ที่มีทั้ง FV และ PV ในข้อเดียวกัน นักศึกษาต้องแบ่งการคิดออกเป็นสองขั้นตอนขึ้นกับลักษณะของโจทย์ และเนื่องจากการจ่ายเงินค่างวดอาจเป็นการจ่ายปลายงวดหรือต้นงวดก็ได้ ผู้เขียนก็ได้แยกเป็นแต่ละกรณีไว้ให้

2.1 คิดจากมูลค่าอนาคต (${{FV}_{N}}$)

2.1.1 กรณีปลายงวด (Ordinary Annuity)

มูลค่าอนาคตในปีที่ N เกิดจากผลรวมของเงินค่างวดในแต่ละงวด (PMT) โดยคิดมูลค่าของเงินตามเวลาตั้งแต่งวดแรกจนถึงงวดสุดท้าย สำหรับกรณีเป็นเงินค่างวดที่จ่ายปลายงวด (ซึ่งเป็นกรณีทั่วไปจึงมักเรียกว่า Ordinary Annuity) เป็นดังรูปที่ 2.1.1

ดังนั้น มูลค่าอนาคตในปีที่ N หรือ ${{FV}_{N}}$ คือ

${{FV}_{N}}=PMT{{\left( 1+I \right)}^{N-1}}+PMT{{\left( 1+I \right)}^{N-2}}+...+PMT\left( 1+I \right)+PMT$

ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัด เราจึงสามารถประยุกต์ใช้สูตร ${{S}_{N}}=\frac{{{a}_{1}}\left( {{r}^{N}}-1 \right)}{r-1}$ ได้เลย นั่นคือ

${{FV}_{N}}=\sum\limits_{i=0}^{N-1}{PMT{{\left( 1+I \right)}^{i}}=\frac{PMT\left( {{\left( 1+I \right)}^{N}}-1 \right)}{\left( \left( 1+I \right)-1 \right)}}$

 $\therefore {{FV}_{N}}=PMT\left( \frac{{{\left( 1+I \right)}^{N}}-1}{I} \right)$               ...(1)

จากสูตรในสมการที่ (1) นักศึกษาสามารถแก้สมการเพื่อหาเงินค่างวด  (PMT) และจำนวนงวด  (N) ได้ดังนี้

$PMT=\frac{\left( F{{V}_{N}} \right)\left( I \right)}{{{\left( 1+I \right)}^{N}}-1},$               ...(2)

$N=\frac{\ln \left[ \frac{\left( F{{V}_{N}} \right)\left( I \right)}{PMT}+1 \right]}{\ln \left( 1+I \right)}.$                ...(3)

2.1.2 กรณีปลายงวด (Ordinary Annuity) ที่มีการทบต้นทบดอกมากกว่าปีละหนึ่งครั้ง ($m>1$)

        กรณีที่โจทย์กำหนดอัตราคิดลด (${I}_{NOM}$) ที่มีการทบต้นทบดอกปีละ $m$ ครั้ง เราสามารถประยุกต์สูตรในสมการที่ (1)-(3) ได้ดังนี้ (ถ้านักศึกษาเข้าใจเนื้อหาในตอนที่ 1 แล้วก็น่าจะเดาฟอร์มของสูตรในข้อนี้ออก)

$F{{V}_{N}}=PMT\left( \frac{{{\left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}^{m\times N}}-1}{\frac{{{I}_{NOM}}}{m}} \right),$

$PMT=\frac{\left( F{{V}_{N}} \right)\left( \frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}{{{\left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}^{m\times N}}-1},$

$N=\left( \frac{\ln \left[ \frac{\left( F{{V}_{N}} \right)\left( \frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}{PMT}+1 \right]}{\ln \left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)} \right)\times \frac{1}{m}.$

2.1.3 กรณีต้นงวด (Annuity Due)

สำหรับกรณีที่เงินรายงวดเป็นการจ่ายต้นงวด (เรียกว่า Annuity Due) มูลค่าอนาคตในปีที่ N เกิดจากผลรวมของเงินค่างวดในแต่ละงวด (PMT) โดยคิดมูลค่าของเงินตามเวลาตั้งแต่งวดแรกจนถึงงวดสุดท้าย เป็นดังรูปที่ 2.1.2 (เปรียบเทียบกับรูปที่ 2.1.1) วิธีคิดก็จะคล้ายๆกับสูตรในสมการที่ (1) นั่นเอง

${{FV}_{N}}=PMT{{\left( 1+I \right)}^{N}}+PMT{{\left( 1+I \right)}^{N-1}}+...+PMT\left( 1+I \right)$

 ${{FV}_{N}}=\sum\limits_{i=1}^{N-1}{PMT{{\left( 1+I \right)}^{i}}=\frac{PMT\left( 1+I \right)\left( {{\left( 1+I \right)}^{N}}-1 \right)}{\left( \left( 1+I \right)-1 \right)}}$

 $\therefore {{FV}_{N}}=PMT\left( \frac{{{\left( 1+I \right)}^{N}}-1}{I} \right)\left( 1+I \right)$

ดังนั้นสำหรับ $0 < I < \infty$,  มูลค่าอนาคตของเงินรายงวดแบบต้นงวดจะมากกว่าแบบปลายงวดเท่ากับ $1+I$  เท่าเสมอ 

2.2 คิดจากมูลค่าปัจจุบัน ($PV$)

2.2.1 กรณีปลายงวด (Ordinary Annuity)

        มูลค่าปัจจุบัน เกิดจากผลรวมของเงินค่างวดในแต่ละงวด (PMT) โดยคิดลดมูลค่าของเงินตามเวลาจากงวดสุดท้ายจนถึงงวดแรก สำหรับกรณีเป็นเงินค่างวดที่จ่ายปลายงวด (Ordinary Annuity) เป็นดังรูปที่ 2.2.1

 จากรูป

$PV=\frac{PMT}{\left( 1+I \right)}+\frac{PMT}{{{\left( 1+I \right)}^{2}}}+\frac{PMT}{{{\left( 1+I \right)}^{3}}}+...+\frac{PMT}{{{\left( 1+I \right)}^{N}}}$

ประยุกต์สูตรอนุกรมเรขาคณิต ดังนั้น

$PV=\frac{PMT}{\left( 1+I \right)}\cdot \frac{\left( \frac{1}{{{\left( 1+I \right)}^{N}}}-1 \right)}{\left( \frac{1}{\left( 1+I \right)}-1 \right)}=\frac{PMT}{\left( 1+I \right)}\cdot \frac{\left( \frac{1-{{\left( 1+I \right)}^{N}}}{{{\left( 1+I \right)}^{N}}} \right)}{\left( \frac{-I}{\left( 1+I \right)} \right)}=\frac{PMT}{\left( 1+I \right)}\cdot \left( \frac{\left( 1+I \right)-{{\left( 1+I \right)}^{N+1}}}{-I{{\left( 1+I \right)}^{N}}} \right)$

$PV=PMT\cdot \left( \frac{1-{{\left( 1+I \right)}^{N}}}{-I{{\left( 1+I \right)}^{N}}} \right)$

$\therefore PV=PMT\left[ \frac{1}{I}-\frac{1}{I{{\left( 1+I \right)}^{N}}} \right]$                ...(4)

และเราสามารถแก้สมการที่ (4) เพื่อหาเงินรายงวด (PMT) และจำนวนงวด (N) ได้ดังนี้

$PMT=\frac{PV}{\left[ \frac{1}{I}-\frac{1}{I{{\left( 1+I \right)}^{N}}} \right]},$

$N=\frac{\ln \left( PMT \right)-\ln \left[ PMT-\left( PV \right)\left( I \right) \right]}{\ln \left( 1+I \right)}.$

2.2.2 กรณีปลายงวด (Ordinary Annuity) ที่มีการทบต้นทบดอกมากกว่าปีละหนึ่งครั้ง ($m>1$)

        กรณีที่โจทย์กำหนดอัตราคิดลด (${I}_{NOM}$) ที่มีการทบต้นทบดอกปีละ $m$ ครั้ง เราสามารถประยุกต์สูตรได้ดังนี้ 

$PV=PMT\left[ \frac{m}{{{I}_{NOM}}}-\frac{m}{{{I}_{NOM}}{{\left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}^{m\times N}}} \right],$

$PMT=\frac{PV}{\left[ \frac{m}{{{I}_{NOM}}}-\frac{m}{{{I}_{NOM}}{{\left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}^{m\times N}}} \right]},$

$N=\left( \frac{\ln \left( PMT \right)-\ln \left[ PMT-\left( PV \right)\left( \frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right) \right]}{\ln \left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)} \right)\times \frac{1}{m}.$

2.2.3 กรณีต้นงวด (Annuity Due)

สำหรับกรณีที่เงินรายงวดเป็นการจ่ายต้นงวด (Annuity Due) มูลค่าปัจจุบันเป็นผลรวมของเงินรายงวดตามรูปที่ 2.2.2 (เปรียบเทียบกับรูปที่ 2.2.1) 

ซึ่งใช้การประยุกต์สูตรอนุกรมเรขาคณิตเหมือนในสูตรในสมการที่ (4) นั่นคือ มูลค่าปัจจุบันของเงินรายงวดกรณีจ่ายต้นงวดเท่ากับ

$PV=PMT+\frac{PMT}{\left( 1+I \right)}+\frac{PMT}{{{\left( 1+I \right)}^{2}}}+...+\frac{PMT}{{{\left( 1+I \right)}^{N-2}}}+\frac{PMT}{{{\left( 1+I \right)}^{N-1}}}$

$PV=PMT\cdot \frac{\left( \frac{1}{{{\left( 1+I \right)}^{N}}}-1 \right)}{\left( \frac{1}{\left( 1+I \right)}-1 \right)}$

$\therefore PV=PMT\left[ \frac{1}{I}-\frac{1}{I{{\left( 1+I \right)}^{N}}} \right]\left( 1+I \right)$

ซึ่งจะคล้ายกับข้อ 2.1 คือ สำหรับ $0 < I < \infty$,  มูลค่าปัจจุบันของเงินรายงวดแบบต้นงวดจะมากกว่าแบบปลายงวดเท่ากับ $1+I$  เท่าเสมอ 

        สำหรับบทความตอนที่ 2 นี้ นักศึกษาจะพบปัญหาที่ชัดเจนสองข้อสำหรับการเรียนเรื่องมูลค่าของเงินตามเวลาแบบใช้สูตรคือ ข้อแรก การแทนค่าตัวแปรโดยการกดเครื่องคิดเลขทำได้ยากและเสี่ยงต่อการคำนวณผิด และข้อที่สองคือ ไม่มีสูตรสำหรับการหา I (เรียกว่า อัตราคิดลด หรืออัตราดอกเบี้ย หรืออัตราผลตอบแทน ขึ้นกับว่ากำลังพูดถึงหลักทรัพย์ประเภทใด) เพราะเป็นการแก้สมการพหุนามกำลัง N ดังนั้นเวลาที่ผู้เขียนสอนหนังสือจึงพยายามเน้นให้นักศึกษาเห็นถึงข้อเสียดังกล่าวของการไม่ใช้เครื่องคิดเลขทางการเงิน (เพราะอาจารย์หลายท่านเห็นว่าไม่จำเป็น) และทำให้นักศึกษาเสียเปรียบนักศึกษาที่อื่นที่ได้ทำโจทย์ที่ซับซ้อนและประยุกต์ใช้งานได้มากกว่านี้

ผู้เขียนจัดทำบทความนี้ขึ้นมาเพื่อให้นักศึกษาด้านการเงิน การลงทุนได้ค้นคว้าต่อ เนื่องจากเนื้อหาวิชา “การเงินธุรกิจ” หรือ “การจัดการการเงิน” หรือ “การบริหารการเงิน” มีเนื้อหามากจนไม่มีเวลาได้อธิบายเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยหรือวิธีพิสูจน์สูตรบางสูตรในห้องเรียนได้ ในบทความถัดๆไป  ผู้เขียนจะพยายามพิสูจน์หาที่มาของสูตรพื้นฐานอื่นๆของวิชาทางการเงินอีก โปรดติดตามอ่านต่อนะครับ และช่วยแสดงความคิดเห็นต่อบทความนี้ด้วยนะครับ