วิธีพิสูจน์สูตรต่างๆในเรื่องมูลค่าเงินตามเวลา (Time Value of Money: TVM) ตอนที่ 1 กระแสเงินสดงวดเดียว

ตอนที่ 1: 

กรณีจ่ายกระแสเงินสดครั้งเดียว (Single Cashflow)

สำหรับนักศึกษาการเงินที่อาจารย์ไม่ได้บังคับให้ซื้อเครื่องคิดเลขทางการเงิน เช่น Texas Instruments BA II Plus หรือ Casio FC-200V หรือรุ่นอื่นๆ ถ้านักศึกษาโชคดีพอ ในการเตรียมสอบอาจต้องท่องสูตรสำหรับการคำนวณหาค่าตัวแปรต่างๆตามที่โจทย์กำหนด ในบทความนี้จะอธิบายที่มาของสูตรต่างๆ เพื่อให้นักศึกษาที่ไม่ทราบว่าพิสูจน์ยังไงได้ทราบและเพื่อให้ท่องสูตรให้น้อยที่สุดและสามารถขยายสูตรต่อไปในห้องสอบได้

มูลค่าอนาคต ($F{{V}_{N}}$)

มูลค่าอนาคตในปีที่ N เกิดจากการคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทบดอกไปเรื่อยๆจนถึงปีสุดท้าย สูตรคือ

$F{{V}_{N}}=PV{{\left( 1+I \right)}^{N}}$                    (1)

มูลค่าปัจจุบัน ($PV$)

เกิดจากการคิดลด (Discount) มูลค่าอนาคตในปีที่ N มาเป็นมูลค่าปัจจุบัน หาได้จากการย้ายข้างของสมการที่ (1)  นั่นคือ

$PV=\frac{F{{V}_{N}}}{{{\left( 1+I \right)}^{N}}}$                         (2)

อัตราคิดลด ($I$)

ได้จากการแก้สมการที่ (1) โดยการย้ายไปหารแล้วถอดรากที่ $N$ เพื่อหาค่า $I$ นั่นคือ

$\frac{F{{V}_{N}}}{PV}={{\left( 1+I \right)}^{N}}$

  ${{\left( \frac{F{{V}_{N}}}{PV} \right)}^{{}^{1}/{}_{N}}}=\left( 1+I \right)$

 $\therefore I={{\left( \frac{F{{V}_{N}}}{PV} \right)}^{{}^{1}/{}_{N}}}-1$                        (3)

จำนวนปี ($N$)

ได้จากการแก้สมการที่ (1) โดยการย้ายไปหารแล้ว take log เพื่อหาค่า $N$ นั่นคือ

$\frac{F{{V}_{N}}}{PV}={{\left( 1+I \right)}^{N}}$

$\ln \left( \frac{F{{V}_{N}}}{PV} \right)=\ln {{\left( 1+I \right)}^{N}}=N\ln \left( 1+I \right)$

$\therefore N=\frac{\ln \left( \frac{F{{V}_{N}}}{PV} \right)}{\ln \left( 1+I \right)}=\frac{\ln \left( F{{V}_{N}} \right)-\ln \left( PV \right)}{\ln \left( 1+I \right)}$                       (4)

กรณีการทบต้นทบดอกมากกว่าปีละหนึ่งครั้ง ($m>1$)

กรณีที่มีการทบต้นทบดอกมากกว่าปีละหนึ่งครั้ง เช่น m ครั้งต่อปี (เรียกว่า ความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยต่อปี) ให้มองการใช้สูตรเป็นต่องวดแทน โดยมีข้อที่ต้องพิจารณาเพิ่มเติมดังนี้

1. สำหรับการใช้สูตรมูลค่าปัจจุบัน ($PV$) มูลค่าอนาคต ($FV$) เงินรายงวด ($PMT$) ต้องมีการแปลงตัวแปร คือ อัตราคิดลดต่องวดเท่ากับ อัตราคิดลดต่อปี (${{I}_{NOM}}$) หารด้วยความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยต่อปี นั่นคือ  $\frac{{{I}_{NOM}}}{m}$  และ จำนวนงวดเท่ากับ $N\times m$
2. สำหรับการใช้สูตรเพื่อหาอัตราคิดลดต่อปี (${{I}_{NOM}}$) และจำนวนงวด ($N$) โดยตรง เวลาตอบคำถามที่มักถามเป็นต่อปี ให้แปลงค่ากลับ (ทำตรงข้ามกับข้อ 1) คือ อัตราคิดลดต้องคูณ $m$ กลับ และ จำนวนปีต้องนำจำนวนงวดที่คำนวณได้หารด้วย $m$

นั่นคือสูตร (1) - (4) เมื่อนำความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยมาเกี่ยวข้องจะกลายเป็น

$F{{V}_{N}}=PV{{\left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}^{m\times N}},$

$PV=\frac{F{{V}_{N}}}{{{\left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)}^{m\times N}}},$

${{I}_{NOM}}=\left[ {{\left( \frac{F{{V}_{N}}}{PV} \right)}^{{}^{1}/{}_{\left( m\times N \right)}}}-1 \right]\times m,$

$N=\left[ \frac{\ln \left( F{{V}_{N}} \right)-\ln \left( PV \right)}{\ln \left( 1+\frac{{{I}_{NOM}}}{m} \right)} \right]\times \frac{1}{m}.$

ผู้เขียนจัดทำบทความนี้ขึ้นมาเพื่อให้นักศึกษาได้ค้นคว้าต่อ เนื่องจากเนื้อหาวิชา “การเงินธุรกิจ” หรือ “การจัดการการเงิน” หรือ “การบริหารการเงิน” มีเนื้อหามากจนไม่มีเวลาได้อธิบายเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยหรือวิธีพิสูจน์สูตร บางสูตรในห้องเรียนได้ ในตอนต่อไปจะเป็นเรื่องของกระแสเงินสดรายงวด (Annuity) โปรดติดตามอ่านต่อนะครับ ช่วยแสดงความคิดเห็นต่อบทความนี้ด้วยนะครับ