ทำไมสูตรการคิดดอกเบี้ยแบบต่อเนื่อง (Continuous Compounding) ต้องมีตัว e หรือ exponential: วิธีพิสูจน์

มูลค่าเงินตามเวลา กับอัตราดอกเบี้ย (Time Value of Money and Interest Rates)

        เนื่องจากการประเมินมูลค่าสินทรัพย์ทางการเงินล้วนอาศัยพื้นฐานความรู้ของการคิด “มูลค่าเงินตามเวลา (Time Value of Money)” โดยมีข้อตกลงร่วมกันคือการใช้ การคิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นทบดอก (Compounding Interest) สำหรับการเรียนการสอนวิชาการเงิน การลงทุน ซึ่งถ้าหากอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยไม่ลืมสอนหรือต้องการปูพื้นฐานต่อไปยังการประเมินมูลค่าตราสารอนุพันธ์ นักศึกษาก็จะได้เรียนการคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทบดอกแยกย่อยไปอีกสองแบบคือ การคิดอัตราดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Compounding Interest) และการคิดอัตราดอกเบี้ยแบบต่อเนื่อง (Continuous Compounding Interest) โดยทั่วไปตราสารทางการเงินมักมีการคิดดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่อง และแม้ว่าในความเป็นจริงแทบจะหาตราสารทางการเงินที่จ่ายดอกเบี้ยแบบต่อเนื่อง ไม่ได้เลย แต่เราก็ยังต้องเรียนการคิดอัตราดอกเบี้ยแบบต่อเนื่องอยู่เพราะสามารถนำไปใช้ประโยชน์ต่อในเชิงคณิตศาสตร์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตราสารอนุพันธ์ที่มูลค่าของมันถูกกำหนดจากมูลค่าของสินทรัพย์อื่น

วิธีคิดอัตราดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Compounding)
ใช้ (1+อัตราดอกเบี้ย) ยกกำลัง

        หากไม่มีการกำหนดเป็นอย่างอื่น การคิดอัตราดอกเบี้ยจะหมายถึงการคิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นทบดอกแบบรายปี (per annum) เสมอ ดังนั้นถ้าตราสารทางการเงินมีการจ่ายดอกเบี้ยที่มากกว่าปีละหนึ่งครั้ง การคิดดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Compounding) จึงต้องทำการแปลงเป็นการจ่ายต่องวดแทน เช่น กำหนดให้อัตราดอกเบี้ย ($r$ )เท่ากับ 10% จ่ายดอกเบี้ยทุกหกเดือน (ความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยต่อปีหรือ $m=2$ ) สำหรับเงินลงทุนจำนวน 1,000 บาท ($PV$ ) มูลค่าอนาคตในอีก 1 ปี ข้างหน้า ($t$) คำนวณได้จาก
$F{{V}_{1}}=PV\times {{\left( 1+\frac{r}{m} \right)}^{mt}}=1,000\times {{\left( 1+\frac{0.10}{2} \right)}^{2}}=1,102.5$  บาท
ตัวอย่างของการคิดดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น การฝากเงิน การกู้เงิน การจ่ายดอกเบี้ยของตราสารหนี้ หรือการคำนวณหามูลค่าของตราสารทางการเงินโดยส่วนใหญ่ ในประเด็นเรื่องความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยต่อปีมีข้อสังเกตสำคัญคือ ยิ่งมีความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยมาก มูลค่าเงินในอนาคตก็จะยิ่งสูงขึ้นตามไปด้วย

วิธีอัตราดอกเบี้ยแบบต่อเนื่อง (Continuous Compounding)
ใช้ exponential ยกกำลัง

        จากตัวอย่างเดิมในย่อหน้าที่แล้ว ถ้าเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ย 10% เป็นแบบต่อเนื่อง มูลค่าอนาคตในอีก 1 ปีข้างหน้าหรือ
$F{{V}_{1}}=PV\times {{e}^{rt}}=1,000\times {{e}^{0.10\times 1}}=1,105.17$   บาท
พออธิบายถึงจุดนี้แล้วอาจารย์ของเราก็มักจะข้ามไปสอนเรื่องอื่นต่อ และทิ้งคำถามไว้ให้นักศึกษาถามตัวเองต่อว่า   ทำไมสูตรในการคำนวณจึงเปลี่ยนจาก 1+อัตราดอกเบี้ย ไปเป็นตัวเอ็กซ์โปเนนเชียล (exponential base หรือ e)

        คำถามนี้น่าสนใจและถูกศึกษามานานกว่าที่เราคาดเอาไว้มาก แม้ว่าเราไม่เคยสนใจว่าทำไมการคิดดอกเบี้ยแบบต่อเนื่องต้องคูณด้วยตัวเอ็กซ์โปเนนเชียล พอๆกับที่เราไม่เคยสนใจต้นกำเนิดของตัวเอ็กซ์โปเนนเชียล ดังนั้นผู้อ่านน่าจะรู้สึกประหลาดใจพอๆกับผู้เขียนเมื่อได้รู้ว่า การคิดดอกเบี้ยแบบต่อเนื่องเกิดมาก่อนการค้นพบตัวเอ็กซ์โปเนนเชียลเสียอีก Jacob Bernoulli ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ค้นพบตัวเอ็กซ์โปเนนเชียล จากความพยายามในการศึกษาการคำนวณมูลค่าของดอกเบี้ยทบต้นแบบต่อเนื่องในปีค.ศ. 1683 หรือ $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ ซึ่งก็คือค่าคงที่ e นั่นเอง

วิธีพิสูจน์
ทำไมต้องมี exponential

        ส่วนการพิสูจน์ว่าทำไม $F{{V}_{t}}=PV\times {{e}^{rt}}$ ผู้เขียนขอเริ่มจากแนวคิดที่ว่าการคิดดอกเบี้ยทบต้นทบดอกแบบต่อเนื่องก็คือ การดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่องที่มีความถี่ในการจ่ายดอกเบี้ยต่อปีสูงมาก ($m\to \infty$) ดังนั้นมูลค่าของการคิดดอกเบี้ยทบต้นทบดอกแบบต่อเนื่องคือ $\underset{m\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{r}{m} \right)}^{m}}$ สมมุติตัวแปร $x=\frac{m}{r}$ ดังนั้น $\frac{r}{m}=\frac{1}{x}$ และ $m=rx$ จะได้ว่า $${{\left( 1+\frac{r}{m} \right)}^{m}}={{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{rx}}$$ Take limit $m\to \infty$, สำหรับ $0 < r < \infty$, $$\underset{m\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{r}{m} \right)}^{m}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{{{r}}x}}={{\left( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}} \right)}^{r}}={{e}^{r}}$$ ดังนั้นสำหรับการลงทุนด้วยเงินเริ่มต้น $PV$ บาทเป็นเวลา $t$ ปี จะได้ว่า $F{{V}_{t}}=PV\times {{e}^{rt}}.$ ซึ่งเป็นสูตรที่เราใช้กันทั่วไป

        ผู้เขียนจัดทำบทความนี้ขึ้นมาเพื่อให้นักศึกษาได้ค้นคว้าต่อ เนื่องจากเนื้อหาวิชา “การเงินธุรกิจ” หรือ “การจัดการการเงิน” หรือ “การบริหารการเงิน” มีเนื้อหามากจนไม่มีเวลาได้อธิบายเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยหรือวิธีพิสูจน์สูตรบางสูตรในห้องเรียนได้ ในบทความถัดๆไป ผู้เขียนจะพยายามพิสูจน์หาที่มาของสูตรพื้นฐานอื่นๆของวิชาทางการเงินอีก โปรดติดตามอ่านต่อนะครับ มีความคิดเห็นอย่างไรช่วยแสดงใน blog นี้ด้วยนะครับ